Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. Построение касательных плоскостей в практическом отношении имеет важное значение, так как наличие их позволяет определить направление нормали к поверхности в точке касания. Эта задача находит широкое применение в инженерной практике. К помощи касательных плоскостей обращаются также для построения очерков геометрических фигур, ограниченных замкнутыми поверхностями. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания.

Основные понятия и определения

Плоскость, касательную к поверхности, следует рассматривать как предельное положение секущей плоскости (по аналогии с прямой, касательной к кривой, которая также определяется как предельное положение секущей).

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых - касательных, проведенных к поверхности через заданную точку.

В дифференциальной геометрии доказывается, что псе касательные к поверхности, проведенные в обыкновенной точке, компланарны (принадлежат одной плоскости).

Выясним, как проводится прямая, касательная к поверхности. Касательная t к поверхности β в заданной на поверхности точке М (рис. 203) представляет предельное положение секущей l j , пересекающей поверхность в двух точках (ММ 1 , ММ 2 , ..., ММ n), когда точки пересечения совпадают (М ≡ М n , l n ≡ l M). Очевидно {M 1 , М 2 , ..., М n } ∈ g, так как g ⊂ β. Из сказанного выше вытекает следующее определение: касательной к поверхности называется прямая, касательная к какой-либо кривой, принадлежащей поверхности .

Так как плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми, то для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме), и к каждой из них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные касательные однозначно определяют касательную плоскость. Наглядное представление о проведении плоскости α, касательной к поверхности β в заданной точке М, дает рис. 204. На этом рисунке показана также нормаль n к поверхности β.

Нормлью к поверхности в заданной точке называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Линию пересечении поверхности плоскостью, проходящей через нормаль, называют нормальным сечением поверхности. В зависимости от вида поверхности касательная плоскость может иметь, с поверхностью как одну, так и множество точек (линию). Линия касания может быть в то же время и линией пересечения поверхности с плоскостью.

Возможны также случаи, когда на поверхности имеются точки, на которых невозможно провести касательную к поверхности; такие точки называют особыми. В качестве примера особых точек можно привести точки, принадлежащие ребру возврата торсовой поверхности, или точку пересечения меридиана поверхности вращения с ее осью, если меридиан и ось пересекаются не под прямым углом.

Виды касания зависят от характера кривизны поверхности.

Кривизна поверхности

Вопросы кривизны поверхности были исследованы французским математиком Ф. Дюпеном (1784- 1873), который предложил наглядный способ изображения изменения кривизны нормальных сечений поверхности.

Для этого в плоскости, касательной к рассматриваемой поверхности в точке М (рис. 205, 206), на касательных к нормальным сечениям по обе стороны от данной точки откладываются отрезки, равные корням квадратным из величин соответствующих радиусов кривизны этих сечений. Множество точек - концов отрезков задают кривую, называемую индикатрисой Дюпена . Алгоритм построения индикатрисы Дюпена (рис. 205) можно записать:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

где R - радиус кривизны.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) - индикатриса Дюпена.

Если индикатриса Дюпена поверхности - эллипс, то точка М называется эллиптической, а поверхность - поверхностью с эллиптическими точками (рис. 206). В этом случае касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, а все линии, принадлежащие поверхности и пересекающиеся в рассматриваемой точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости. Примером поверхностей с эллиптическими точками могут служить: параболоид вращения, эллипсоид вращения, сфера (в этом случае индикатриса Дюпена - окружность и др.).

При проведении касательной плоскости к торсовой поверхности плоскость будет касаться этой поверхности по прямой образующей. Точки этой прямой называются параболическими, а поверхность - поверхностью с параболическими точками . Индикатриса Дюпена в этом случае - две параллельные прямые (рис. 207*).

На рис. 208 показана поверхность, состоящая из точек, в кото

* Кривая второго порядка - парабола - при определенных условиях может распадаться на две действительные параллельные прямые, две мнимые параллельные прямые, две совпадающие прямые. На рис. 207 мы имеем дело с двумя действительными параллельными прямыми.

рых касательная плоскость пересекает поверхность. Такая поверхность называется гиперболической , а принадлежащие ей точки - гиперболическими точками. Индикатриса Дюпена в данном случае - гипербола.

Поверхность, все точки которой являются гиперболическими, имеет форму седла (косая плоскость, однополостный гиперболоид, вогнутые поверхности вращения и др.).

Одна поверхность может иметь точки разных видов, например, у торсовой поверхности (рис. 209) точка М эллиптическая; точка N - параболическая; точка К - гиперболическая.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что нормальные сечения, в которых величины кривизны K j = 1/ R j (где R j радиус кривизны рассматриваемого сечения) имеют экстремальные значения, расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Такие кривизны К 1 = 1/R max . К 2 = 1/R min называются главными, а значения Н = (К 1 + К 2)/2 и К = К 1 К 2 - соответственно средней кривизной поверхности и полной (гауссовой) кривизной поверхности в рассматриваемой точке. Для эллиптических точек К > 0, гиперболических К

Задание плоскости касательной к поверхности на эпюре Монжа

Ниже на конкретных примерах покажем построение плоскости, касательной к поверхности с эллиптическими (пример 1), параболическими (пример 2) и гиперболическими (пример 3) точками.

ПРИМЕР 1. Построить плоскость α, касательную к поверхности вращения β, с эллиптическими точками. Рассмотрим два варианта решения этой задачи, а) точка М ∈ β и б) точка М ∉ β

Вариант а (рис. 210).

Касательная плоскость определяется двумя касательными t 1 и t 2 , проведенными в точке М к параллели и меридиану поверхности β.

Проекции касательной t 1 к параллели h поверхности β будут t" 1 ⊥ (S"M") и t" 1 || оси х. Горизонтальная проекция касательной t" 2 к меридиану d поверхности β, проходящему через точку М, совпадет с горизонтальной проекцией меридиана. Чтобы найти фронтальную проекцию касательной t" 2 , меридиональную плоскость γ(γ ∋ М) путем вращения вокруг оси поверхности β переводим в положение γ 1 , параллельное плоскости π 2 . В этом случае точка М → M 1 (М" 1 , М" 1).Проекция касательной t" 2 rarr; t" 2 1 определяется (M" 1 S"). Если мы теперь возвратим плоскость γ 1 в первоначальное положение, то точка S" останется на месте (как принадлежащая оси вращения), а М" 1 → М" и фронтальная проекция касательной t" 2 определится (M"S")

Две пересекающиеся в точке М ∈ β касательные t 1 и t 2 определяют плоскость α, касательную к поверхности β.

Вариант б (рис. 211)

Для построения плоскости, касательной к поверхности проходящей через точку, не принадлежащую поверхности, нужно исходить из следующих соображений: через точку вне поверхности, состоящей из эллиптических точек, можно провести множество плоскостей, касательных к поверхности. Огибающей этих поверхностей будет некоторая коническая поверхность. Поэтому, если нет дополнительных указаний, то задача имеет множество решений и в таком случае сводится к проведению конической поверхности γ, касательной к данной поверхности β.

На рис. 211 показано построение конической поверхности γ, касательной к сфере β. Любая плоскость α, касательная к конической поверхности γ, будет касательной к поверхности β.

Для построения проекций поверхности γ из точек М" и М" проводим касательные к окружностям h" и f" - проекциям сферы. Отмечаем точки касания 1 (1" и 1"), 2 (2" и 2"), 3 (3" и 3") и 4 (4" и 4"). Горизонтальная проекция окружности - линия касания конической поверхности и сферы спроецируется в [ 1"2"] Для нахождения точек эллипса, в который эта окружность спроецируется на фронтальную плоскость проекций, воспользуемся параллелями сферы.

На рис. 211 таким способом определены фронтальные проекции точек Е и F (Е" и F"). Имея коническую поверхность γ, строим к ней касательную плоскость α. Характер и последовательность графичес-

ких построений, которые необходимо для этого выполнить, приведены в следующем примере.

ПРИМЕР 2 Построить плоскость α, касательную к поверхности β с параболическими точками

Как в примере 1 рассмотрим два варианта решения.а) точка N ∈ β; б) точка N ∉ β

Вариант а (рис 212) .

Коническая поверхность относится к поверхностям с параболическими точками (см. рис. 207.) Плоскость, касательная к конической поверхности, касается ее по прямолинейной образующёи.Для ее построения необходимо:

1) через данную точку N провести образующую SN (S"N" и S"N") ;

2) отметить точку пересечения образующей (SN) с направляющей d: (SN) ∩ d = А;

3) провеет и к асательную t к d в точке А.

Образующая (SA) и пересекающая ее касательная t определяютплоскостъ α , касательную к конической поверхности β в данной точке N*.

Для проведения плоскости α, касательной к конической поверхности β и проходящей через точку N, не принадле

* Так как поверхность β состоит из параболических точек (кроме вершины S), то касательная к ней плоскость α будет иметь общую с ней не одну точку N, а прямую (SN).

жащую заданной поверхности, необходимо:

1) через данную точку N и вершину S конической поверхности β провести прямую а (а" и а") ;

2) определить горизонтальный след этой прямой Н a ;

3) через Н a провести касательные t" 1 и t" 2 кривой h 0β - горизонтальному следу конической поверхности;

4) точки касания А (А" и А") и В (В" и В") соединить с вершиной конической поверхности S (S" и S").

Пересекающиеся прямые t 1 , (AS) и t 2 , (BS) определяют искомые касательные плоскости α 1 и α 2

ПРИМЕР 3. Построить плоскость α, касательную к поверхности β с гиперболическими точками.

Точка К (рис. 214) находится на поверхности глобоида (внутренняя поверхность кольца).

Для определения положения касательной плоскости α необходимо:

1) провести через точку К параллель поверхности β h(h", h") ;

2) через точку К" провести касательную t" 1 (t" 1 ≡ h") ;

3) для определения направлений проекций касательной к меридиональному сечению необходимо провести через точку К и ось поверхности плоскость γ, горизонтальная проекция t" 2 совпадет с h 0γ ; для построения фронтальной проекции касательной t" 2 предварительно переведем плоскость γ путем вращения ее вокруг оси поверхности вращения в положение γ 1 || π 2 . В этом случае меридиональное сечение плоскостью γ совместится с левой очерковой дугой фронтальной проекции - полуокружностью g".

Точка К (К", К"), принадлежащая кривой меридионального сечения, переместится в положение K 1 (К" 1 , К" 1). Через К" 1 проводим фронтальную проекцию касательной t" 2 1 , в совмещенном с плоскостью γ 1 || π 2 положении и отмечаем точку ее пересечения с фронтальной проекцией оси вращения S" 1 . Возвращаем плоскость γ 1 в исходное положение, точка К" 1 → К" (точка S" 1 ≡ S"). Фронтальная проекция касательной t" 2 определится точками К" и S".

Касательные t 1 и t 2 определяют искомую касательную плоскость α, которая пересекает поверхность β по кривой l .

ПРИМЕР 4. Построить плоскость α, касательную к поверхности β в точке К. Точка К находится на поверхности однополостного гиперболоида вращения (рис. 215).

Эту задачу можно решить, придерживаясь алгоритма, использованного в предыдущем примере, но учитывая, что поверхность однополостного гиперболоида вращения является линейчатой поверхностью, которая имеет два семейства прямолинейных образующих, причем каждая из образующих одного семейства пересекает все образующие другого семейства (см. § 32, рис. 138). Через каждую точку этой поверхности можно провести две пересекающиеся прямые - образующие, которые будут одновременно касательными к поверхности однополостного гиперболоида вращения.

Эти касательные определяют касательную плоскость, т е. плоскость, касательная к поверхности однополостного гиперболоида вращения,пересекает эту поверхность по двум прямым g 1 и g 2 . Для построения проекций этих прямых достаточно ит горизонтальной проекции точки К пронести касательные t" 1 и t" 2 к горизон-

тальной проекции окружности d" 2 - горла поверхности однополостного гиперболоида вращения; определить точки 1" и 2 , в которых t" 1 и t" 2 пересекают одну ит направляющих поверхности d 1 . По 1" и 2" находим 1" и 2" , которые совместно с К" определяют фронтальные проекции искомых прямых.

А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Решение :если поверхность задана уравнением (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно) . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных , то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии , – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ :

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

В точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

И по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

И соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение : уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ :

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата

Поверхность определяется как множество точек , координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

F (x , y , z) = 0 (1) {\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)}

Если функция F (x , y , z) {\displaystyle F(x,\,y,\,z)} непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью .

Помимо указанного выше неявного способа задания , поверхность может быть определена явно , если одну из переменных, например, z, можно выразить через остальные:

z = f (x , y) (1 ′) {\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1")}

Более строго, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат , координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью . Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью , называется правильной поверхностью .

Поверхность в дифференциальной геометрии

Геликоид

Катеноид

Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрики геликоида и катеноида , параметризованных соответствующим образом, совпадают, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус) .

Метрические коэффициенты E , F , G {\displaystyle E,\ F,\ G} определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.

Нормаль и нормальное сечение

Векторы нормали в точках поверхности

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль - единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | {\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {[\mathbf {r"_{u}} ,\mathbf {r"_{v}} ]}{|[\mathbf {r"_{u}} ,\mathbf {r"_{v}} ]|}}} .

Знак нормали зависит от выбора координат.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол θ {\displaystyle \theta } . Тогда кривизна k {\displaystyle k} кривой связана с кривизной k n {\displaystyle k_{n}} нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье :

k n = ± k cos θ {\displaystyle k_{n}=\pm k\,\cos \,\theta }

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
неявное задание	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 {\displaystyle {\frac {\left({\frac {\partial F}{\partial x}};\,{\frac {\partial F}{\partial y}};\,{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}}}
явное задание	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 {\displaystyle {\frac {\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}};\,-{\frac {\partial f}{\partial y}};\,1\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}}}
параметрическое задание	(D (y , z) D (u , v) ; D (z , x) D (u , v) ; D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 {\displaystyle {\frac {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}}

Здесь D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x , y) D (u , v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | {\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y"_{u}&y"_{v}\\z"_{u}&z"_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z"_{u}&z"_{v}\\x"_{u}&x"_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x"_{u}&x"_{v}\\y"_{u}&y"_{v}\end{vmatrix}}} .

Все производные берутся в точке (x 0 , y 0 , z 0) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} .

Кривизна

Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной ; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.

Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления e 1 {\displaystyle e_{1}} и e 2 {\displaystyle e_{2}} , в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются главными . Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова (например, у сферы или на торце эллипсоида вращения), тогда все направления в точке - главные.

Поверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной.

Нормальные кривизны в главных направлениях называются главными кривизнами ; обозначим их κ 1 {\displaystyle \kappa _{1}} и κ 2 {\displaystyle \kappa _{2}} . Величина:

K = κ 1 κ 2 {\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}}

называется гауссовой кривизной , полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны , который подразумевает результат свёртки тензора кривизны ; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна 1 R 2 {\displaystyle {\frac {1}{R^{2}}}} . Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны -

В некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью .

Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно , если одну из переменных, например z, можно выразить через остальные:

Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:

Понятие о простой поверхности

Более точно, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат , координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью . Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью , называется правильной поверхностью .

Поверхность в дифференциальной геометрии

Геликоид

Катеноид

Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрика геликоида и катеноида , параметризованных соответствующим образом, совпадает, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус).

Метрические коэффициенты определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.

Нормаль и нормальное сечение

Векторы нормали в точках поверхности

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль - единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:

.

Знак нормали зависит от выбора координат.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль (в данной точке), образует некоторую кривую на поверхности, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол θ . Тогда кривизна k кривой связана с кривизной k n нормального сечения (с той же касательной) формулой Мёнье :

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
неявное задание
явное задание
параметрическое задание

Кривизна

Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной ; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.

Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления e 1 и e 2 , в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются главными . Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова (например, у сферы или на торце эллипсоида вращения), тогда все направления в точке - главные.

Поверхности с отрицательной (слева), нулевой (в центре) и положительной (справа) кривизной.

Нормальные кривизны в главных направлениях называются главными кривизнами ; обозначим их κ 1 и κ 2 . Величина:

K = κ 1 κ 2

называется гауссовой кривизной , полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны , который подразумевает результат свёртки тензора кривизны ; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.

Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна . Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны - псевдосфера .

Геодезические линии, геодезическая кривизна

Кривая на поверхности называется геодезической линией , или просто геодезической , если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности. Пример: на плоскости геодезическими будут прямые и отрезки прямых, на сфере - большие круги и их отрезки.

Эквивалентное определение: у геодезической линии проекция её главной нормали на соприкасающуюся плоскость есть нулевой вектор. Если кривая не является геодезической, то указанная проекция ненулевая; её длина называется геодезической кривизной k g кривой на поверхности. Имеет место соотношение:

,

где k - кривизна данной кривой, k n - кривизна её нормального сечения с той же касательной.

Геодезические линии относятся к внутренней геометрии. Перечислим их главные свойства.

• Через данную точку поверхности в заданном направлении проходит одна и только одна геодезическая.
• На достаточно малом участке поверхности две точки всегда можно соединить геодезической, и притом только одной. Пояснение: на сфере противоположные полюса соединяет бесконечное количество меридианов, а две близкие точки можно соединить не только отрезком большого круга, но и его дополнением до полной окружности, так что однозначность соблюдается только в малом.
• Геодезическая является кратчайшей. Более строго: на малом куске поверхности кратчайший путь между заданными точками лежит по геодезической.

Площадь

Ещё один важный атрибут поверхности - её площадь , которая вычисляется по формуле:

В координатах получаем:

	явное задание	параметрическое задание
выражение для площади